Conectori în logica propozițională: Conjuncția

Luați în considerare aceste propoziții:

Adam este atletic.
10. Barbara este atletică.
11. Adam este atletic, iar Barbara este, de asemenea, atletică.

Vom avea nevoie de litere de propoziție separate pentru 9 și 10, așa că definim această cheie de simbolizare:

A: Adam este atletic.
B: Barbara este atletică.

Propoziția 9 poate fi simbolizată ca A.

Propoziția 10 poate fi simbolizată ca B.

Propoziția 11 poate fi parafrazată ca „A și B”. Pentru a simboliza pe deplin această propoziție, avem nevoie de un alt simbol. Vom folosi ‘ & .’ Traducem ‘A și B’ ca A & B. Conjunctivul logic ‘ & ’ se numește CONJUNCȚIE, iar A și B se numesc fiecare CONJUNCȚI.

Observați că nu facem nicio încercare de a simboliza „de asemenea” în propoziția 11. Cuvinte precum „ambele” și „de asemenea” funcționează pentru a ne atrage atenția asupra faptului că două lucruri sunt conexe. Ele nu mai fac nicio muncă logică, așa că nu trebuie să le reprezentăm în logica propozițională.

Mai multe exemple:

Barbara este atletică și energică.
13. Barbara și Adam sunt amândoi atletici.
14. Deși Barbara este energică, ea nu este atletică.
15. Barbara este atletică, dar Adam este mai atletic decât ea.

Propoziția 12 este evident o conjuncție. Propoziția spune două lucruri despre Barbara, așa că este permis să se facă referire la Barbara o singură dată. Ar putea fi tentant să încercați acest lucru atunci când traduceți argumentul: Deoarece B înseamnă „Barbara este atletică”, s-ar putea parafraza propozițiile ca „B și energică”. Aceasta ar fi o greșeală. Odată ce traducem o parte dintr-o propoziție cu B, orice altă structură se pierde. B este o propoziție atomică; nu este altceva decât adevărat sau fals. În schimb, „energic” nu este o propoziție; de la sine nu este nici adevărat, nici fals. În schimb, ar trebui să parafrazăm propoziția ca „B și Barbara este energică”. Acum trebuie să adăugăm o literă de propoziție la cheia de simbolizare. Să notăm E să însemne „Barbara este energică”. Acum propoziția poate fi tradusă ca B & E.

O propoziție poate fi simbolizată ca Α & Β dacă poate fi parafrazată în engleză ca „Atât Α cât și Β”. Fiecare dintre conjuncți trebuie să fie o propoziție.

Propoziția 13 spune un lucru despre două subiecte diferite. Se spune atât despre Barbara cât și despre Adam că sunt atletici, iar în limba curentă folosim cuvântul „atletic” o singură dată. În traducerea în logica propozițională, este important să ne dăm seama că propoziția poate fi parafrazată astfel: „Barbara este atletică, și Adam este atletic.” Aceasta se traduce prin B & A.

Propoziția 14 este puțin mai complicată. Cuvântul „deși” creează un contrast între prima parte a propoziției și a doua parte. Cu toate acestea, propoziția spune atât că Barbara este energică, cât și că nu este atletică. Pentru a face din fiecare conjuncție o propoziție atomică, trebuie să înlocuim „ea” cu „Barbara”.

Deci, putem parafraza propoziția 14 ca: „Atât Barbara este energică, cât și Barbara nu este atletică.” A doua conjuncție conține o negație, așa că parafrazăm mai departe: „Atât Barbara este energică cât și nu este cazul în care Barbara este atletică”. Aceasta se traduce prin E & ¬B.

Propoziția 15 conține o structură contrastivă similară. Este irelevant în scopul traducerii în logica propozițională, așa că putem parafraza propoziția ca „Atât Barbara este atletică, cât și Adam este mai atletic decât Barbara.” (Rețineți că înlocuim din nou pronumele „ea” cu numele ei.) Cum ar trebui să traducem a doua conjuncție? Avem deja litera de propoziție A, care este despre faptul că Adam este atletic și B, care este despre faptul că Barbara este atletică, dar niciunul dintre ei nu este mai atletic decât celălalt. Avem nevoie de o nouă literă de propoziție. Să notăm R să însemne „Adam este mai atletic decât Barbara.” Acum, propoziția se traduce prin B & R.

Propozițiile care pot fi parafrazate „Α, dar Β” sau „Deși Α, Β” sunt cel mai bine simbolizate folosind conjuncția: Α & Β.

Este important să rețineți că literele de propoziție A, B și R sunt propoziții atomice. Considerate ca simboluri ale logica propozițională, ele nu au nicio semnificație în afară de a fi adevărate sau false. Le-am folosit pentru a simboliza diferite propoziții în limba curentă, care se referă la oameni atletici, dar această similitudine se pierde complet atunci când traducem în logica propozițională. Nicio limbă formală nu poate capta întreaga structură a limbii curente, dar atâta timp cât această structură nu este importantă pentru argument, nu se pierde nimic dacă o omitem.

Pentru orice propoziții A și B, A și B sunt adevărate dacă și numai dacă atât A cât și B sunt adevărate. Putem rezuma acest lucru în tabelul de adevăr caracteristic pentru conjuncție:

A	B	A˄B
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

Conjuncția este simetrică deoarece putem schimba conjuncțiile fără a schimba valoarea de adevăr a propoziției. Indiferent de ceea ce sunt A și B, A & B este echivalent logic cu B & A.