Logica predicatelor

Logica predicatelor – cunoscută și ca logica de ordinul întâi și calcul predicatelor de ordinul întâi – este o colecție de sisteme formale utilizate în matematică, filosofie, lingvistică și informatică. Logica de ordinul întâi utilizează variabile cuantificate asupra obiectelor non-logice și permite utilizarea unor propoziții care conțin variabile, astfel încât, mai degrabă decât propoziții precum Socrate este un om, se pot folosi expresii în forma „există x astfel încât x este Socrate și x este un om „și există un cuantificator în timp ce x este o variabilă. Aceasta se deosebește de logica propozițională, care nu utilizează cuantificatori sau relații; în acest sens, logica propozițională este fundamentul logicii de ordinul întâi.

O teorie despre un subiect este, de obicei, o logică de ordinul întâi, împreună cu un domeniu specific al discursului peste care variază variabilele cuantificate, în mod finit multe funcții din acel domeniu în sine, în mod finit multe predicate definite pe acel domeniu, și un set de axiome considerate valabile pentru acele lucruri. Uneori, „teoria” este înțeleasă într-un sens mai formal, care este doar un set de propoziții în logica de ordinul întâi.

Adjectivul „de ordinul întâi” distinge logica de ordinul întâi de logica de ordin superior în care există predicate având predicate sau funcții ca argumente sau în care sunt permise unul sau ambii cuantificatori de predicate sau cuantificatori de funcții. În teoriile de ordinul întâi, predicatele sunt adesea asociate cu seturi. În teoriile interpretate de ordin superior, predicatele pot fi interpretate ca seturi de seturi.

Există multe sisteme deductive pentru logica de prim ordin care sunt ambele sigure (toate declarațiile demonstrabile sunt adevărate în toate modelele) și complete (toate afirmațiile care sunt valabile în toate modelele sunt demonstrabile). Deși relația logică a consecințelor este doar semidecidabilă, s-au făcut progrese importante în demonstrarea teoriei automate în logica de ordinul întâi. Logica de ordinul întâi satisface și câteva teorii metalogice care o fac susceptibilă la analiză în teoria probelor, cum ar fi teorema Löwenheim-Skolem și teorema compactibilității.

Logica de ordinul întâi este standardul pentru formalizarea matematicii în axiome și este studiată la bazele matematicii. Teoria seturilor aritmetice Peano și Zermelo-Fraenkel sunt axiomatizări ale teoriei numerelor și teoriei seturilor, respectiv logicii de ordinul întâi. Nicio teorie de ordinul întâi nu are puterea de a descrie în mod unic o structură cu un domeniu infinit, cum ar fi numerele naturale sau linia reală. Sistemele de axiome care descriu pe deplin aceste două structuri (adică sisteme de axiomice categorice) pot fi obținute în logici mai puternice, cum ar fi logica de ordinul doi.

Bazele logicii de prim ordin au fost dezvoltate independent de Gottlob Frege și Charles Sanders Peirce.

În timp ce logica propozițională se ocupă de propoziții simple declarative, logica de ordinul întâi acoperă în plus predicatele și cuantificarea.

Un predicat ia o entitate sau entități în domeniul discursului ca intrare, în timp ce ieșirile sunt adevărate sau false. Luați în considerare cele două propoziții „Socrate este un filosof” și „Platon este un filozof”. În logica propozițională, aceste propoziții sunt privite ca fiind independente și pot fi notate, de exemplu, prin variabile precum p și q. Predicatul „este un filozof” apare în ambele propoziții, care au o structură comună de „a este un filozof”. Variabila a este instanțiată ca „Socrate” în prima sentință și este instanțiată ca „Platon” în a doua sentință. În timp ce logica de ordinul întâi permite utilizarea predicatelor, cum ar fi „este un filozof” în acest exemplu, logica propozițională nu o permite.

Relațiile dintre predicate pot fi declarate folosind conectivități logice. Considerăm, de exemplu, formula de prim ordin: „dacă a este un filozof, atunci a este un învățat”. Această formulă este o afirmație condiționată cu „a este un filozof”, ca ipoteză și „a este un învățat” ca și concluzie. Adevărul acestei formule depinde de ce obiect este denotat de a, și de interpretările predicatelor „este un filozof” și „este un învățat”.

Cuantificatorii pot fi aplicați variabilelor într-o formulă. Variabila a din formula anterioară poate fi cuantificată universal, de exemplu, cu propoziția de ordinul întâi „Pentru fiecare a, dacă a este un filozof, atunci a este un învățat”. Cuantificatorul universal „pentru fiecare” din această sentință exprimă ideea că afirmația „dacă a este un filosof, atunci a este un învățat”, este valabilă pentru toate alegerile lui a.

Negarea sentinței „Pentru fiecare a, dacă a este un filosof, atunci a este un savant” este logic echivalentă cu propoziția „Există a astfel încât a este un filozof și a nu este un învățat”. Cuantificatorul existențial „există” exprimă ideea că afirmația „a este un filosof și a nu este un învățat” este valabilă pentru cel puțin o alegere a lui a.

Predicatele „este un filosof” și „este un învățat” fiecare ia o singură variabilă. În general, predicatele pot lua mai multe variabile. În teza de prim ordin „Socrate este profesorul lui Platon”, predicatul „este profesorul” ia două variabile.

O interpretare (sau model) a unei formule de prim ordin specifică ce înseamnă fiecare predicat și entitățile care pot instanția variabilele. Aceste entități formează domeniul discursului sau universul, care de obicei trebuie să fie un set ne-gol. De exemplu, într-o interpretare cu domeniul discursului format din toate ființele umane și predicatul „este un filozof” înțeles ca fiind „autorul Republicii„, sentința „Există a astfel încât a este un filozof” este văzută ca fiind adevărată, așa cum a afirmat Platon.