Logica modală este un tip de logică formală dezvoltată în primul rând în anii 1960, care extinde logica clasică propozițională și a predicatelor la operatorii care exprimă modalitatea. Un modal – un cuvânt care exprimă o modalitate – califică o declarație. De exemplu, afirmația „Ion este fericit” ar putea fi calificată prin a spune că Ion este de obicei fericit, caz în care termenul „de obicei” funcționează ca un modal. Modalitățile aletice tradiționale sau modalitățile adevărului, includ posibilitatea („Posibil, p„, „Este posibil ca p„), necesitatea („Necesar, p„, „Este necesar ca p„) și imposibilitatea (”Imposibil, p„, „Este imposibil ca p„). Alte modalități care au fost formalizate în logica modală includ modalitățile temporale sau modalitățile de timp (în special, „A fost cazul ca p„, „A fost întotdeauna ca p„, „Va fi ca p„, „Va fi întotdeauna ca p„), modalități deontice (în special „Este obligatoriu ca p” și „Este permis ca p„), modalități epistemice sau modalități de cunoaștere (”Se știe că p„) și modalități de credință („Se crede că p„).
O logică modală formală reprezintă modalitățile în care se utilizează operatorii modali. De exemplu, „S-ar putea să plouă astăzi” și „Este posibil ca ploaia să cadă astăzi”, ambele conțin noțiunea de posibilitate. Într-o logică modală aceasta este reprezentată ca operator, „Posibil”, atașat la propoziția „Va ploua astăzi”.
Este greșit să confundăm necesitatea cu posibilitatea. În special, aceasta este cunoscută sub numele de eroarea modală.
Operatorii modali de bază unari (1 loc) sunt de obicei scriși „□” pentru „Necesar” și „◇” pentru „Posibil”. Urmând exemplul de mai sus, dacă P reprezintă declarația „va ploaia astăzi”, posibilitatea ploii ar fi reprezentată de ◊P. Aceasta seitește: Este posibil să plouă azi. În mod similar, ◻P se citește: Este necesar să plouă astăzi, exprimând certitudinea cu privire la afirmație.
Într-o logică modală clasică, fiecare poate fi exprimată de cealaltă prin negare.
◊P ↔ ¬◻¬P;
În limbajul natural, aceasta afirmă: este posibil să plouă azi dacă și numai dacă nu este necesar să nu ploua azi. În mod similar, necesitatea poate fi exprimată în termeni de posibilitate ptin următoarea negare:
◻P ↔ ¬◊¬P
care afirmă că este necesar să plouă azi dacă și numai dacă nu este posibil să nu plouă azi. Simbolurile alternative utilizate pentru operatorii modal sunt „L” pentru „Necesar” și „M” pentru „Posibil”.
Dezvoltarea logicii modale
În plus față de silogismul său nemodal, Aristotel a dezvoltat, de asemenea, un silogism modal în Cartea I a Prior Analytics (cap 8-22), pe care Theophrastus a încercat să o îmbunătățească. Există, de asemenea, pasaje în lucrarea lui Aristotel, cum ar fi celebrul argument de luptă maritimă din De Interpretatione §9, care sunt acum văzute ca anticipări ale legăturii logicii modale cu potențialitatea și timpul. În perioada elenistică, logicienii Diodorus Cronus, Philo Dialectician și Chrysippus Stoic au dezvoltat fiecare un sistem modal care a reprezentat interdefinibilitatea posibilității și necesității, axioma T acceptată, și elementele combinate ale logicii modale și ale logicii temporale în încercări de a rezolva cunoscutul Argument al stăpânului. Cel mai vechi sistem formal al logicii modale a fost dezvoltat de Avicenna, care a dezvoltat în cele din urmă o teorie a „modal temporală” silogistică. Logica modală ca subiect auto-conștient datorează mult scrierilor scolasticii, în special lui William of Ockham și lui John Duns Scotus, care au argumentat informal într-o manieră modală, în principal pentru a analiza afirmațiile despre esență și accident.
C. I. Lewis a fondat o logică modală modernă în teza sa de la Harvard din 1910 și într-o serie de articole științifice începând din 1912. Această lucrare a culminat în cartea sa din 1932, Symbolic Logic (cu C. H. Langford), în care a introdus cele cinci sisteme de la S1 până la S5.
Ruth C. Barcan (mai târziu Ruth Barcan Marcus) a dezvoltat primele sisteme axiomatice ale logicii modale cuantificate – extensiile de primul și al doilea ordin ale lui Lewis S2, S4 și S5.
Era contemporană a semanticii modale a început în 1959, când Saul Kripke (atunci doar un student de 19 ani, licențiat la Universitatea Harvard) a introdus semantica Kripke, acum standard pentru logica modală. Acestea sunt denumite în mod obișnuit semantica „lumilor posibile”. Kripke și A. N. Prior au corespondut anterior într-o oarecare măsură. Semantica Kripke este în esență simplă, dar dovezile sunt ușurate folosind tabelele semantice sau tabelele analitice, după cum explică E. W. Beth.
A. N. Prior a creat logica temporală modernă, strâns legată de logica modală, în 1957, prin adăugarea de operatori modali [F] și [P] însemnând „eventual” și „anterior”. Vaughan Pratt a introdus logica dinamică în 1976. În 1977, Amir Pnueli a propus utilizarea logicii temporale pentru a formaliza comportamentul programelor concurente care funcționează continuu. Versiunile logicii temporale includ logica dinamică propozițională (PDL), logica temporală liniară propozițională (PLTL), logica temporală liniară (LTL), logica arborelui de calcul (CTL), logica Hennessy-Milner, și T.
Structura matematică a logicii modale, și anume algebrele booleene augmentate cu operații unare (adesea numite algebre modale), au început să apară odată cu dovada din 1941 a lui JCC McKinsey că S2 și S4 sunt decidabile și au ajuns la apogeu în opera lui Alfred Tarski și studentul său Bjarni Jónsson. Ei au arătat că S4 și S5 sunt modele de algebră interioară, o extensie adecvată a algebrei booleene proiectată inițial pentru a capta proprietățile operatorului interior și de închidere a topologiei. Textele despre logica modală nu mai vorbesc de obicei decât despre conexiunile sale cu studiul algebrelor și topologiei booleene.
Lasă un răspuns